Modelos matemáticos

 Se simula el siguiente sistema mecánico:

Quedando así:

Modelado de sistema eléctrico:

Se calcula la corriente que pasa por la resistencia de 5 ohm.

Modelado de sistema térmico:

Circuitos Eléctricos

Como se verá a continuación, la relación entre los elementos de los sistemas eléctricos mostrados en la Figura 3.2-1 y los de la red generalizada es directa, lo que permitirá aplicar posteriormente los teoremas y procedimientos de análisis de las redes eléctricas a las redes generalizadas.

Los elementos que se emplearán serán el capacitor (que almacena energía en un campo eléctrico), el inductor (que almacena energía en un campo magnético), la resistencia (que disipa energía) y el transformador.

Capacitor eléctrico puro

Si se arreglan dos piezas de un material conductor de manera que ellas estén separadas por un material dieléctrico (un material en el cual se puede establecer un campo eléctrico sin permitir un flujo significante de carga a través de él), se establece un campo eléctrico entre los conductores cuando fluye una carga hacia un conductor saliendo del otro. Este campo eléctrico da como resultado una diferencia de potencial entre los dos conductores, la cual depende de la cantidad de cargas localizada entre los conductores.

Los dispositivos físicos que exhiben este tipo de relación de carga y voltaje se dicen que tienen capacitancia.

Una capacitancia ideal tiene una carga proporcional a la diferencia de potencial.

Donde C es la capacitancia del elemento en faradios (F = A s / V). La ecuación elemental para un capacitor ideal es

Cuando se hace fluir una carga dentro de un capacitor se transfiere energía (Ee )   al elemento, la cual está dada por:

Un capacitor almacena energía en su campo electrostático, por lo tanto se llama energía de campo eléctrico. 

Inductor eléctrico puro

Cuando la corriente fluye a través de una estructura conductora, se establece un campo magnético en el espacio o material alrededor de la estructura. Si esta corriente cambia como una función del tiempo, la intensidad del campo magnético variará también con el tiempo. De acuerdo con la ley de Lenz, este campo cambiante inducirá diferencias de potencial en la estructura conductora las cuales tenderán a oponerse al cambio de la corriente- La característica básica por la cual un elemento eléctrico resiste con una diferencia de potencial al razón de cambio del flujo de corriente a través de él se llama inductancia. Se definirá la cantidad de acople de flujo ʎ como:

Un inductor puro o ideal tiene un acople de flujo proporcional a la corriente

Donde la inductancia L está medida en henrios (h = V s / A).

La ecuación elemental para un inductor ideal con L constante es

Un inductor almacena energía en el campo magnético asociado con la corriente. La energía eléctrica almacenada en un inductor puro se llama energía del campo magnético Em y está dada por

Si el inductor es ideal, entonces

Los componentes de un circuito eléctrico pueden ser activos cuando su funcionamiento involucra suministro de energía o cambios en la configuración del flujo de corriente, o pasivos cuando realizan su función sin necesidad de un suministro adicional de energía. Como ejemplos de los primeros se encuentran los amplificadores operacionales, transistores, memorias y circuitos integrados en general.

Por otra parte, elementos pasivos son elementos que cumplen funciones de acoplamiento: resistores, inductores y capacitores. Es de especial interés para la elaboración de modelos, conocer la relación que existe entre el voltaje aplicado y la corriente que circula entre las terminales de cualquiera de estos elementos, o bien la caída de tensión debida a la circulación de cierta corriente en tales componentes; a esta relación se le denomina característica corriente-voltaje. Si esta característica resulta ser lineal, entonces es posible aplicar los instrumentos matemáticos disponible para efectuar el análisis y predecir su respuesta. El elemento más sencillo es la resistencia, la cual se describe por medio de la conocida ley descrita por el físico Georg Simon Ohm: 

¨en un circuito cerrado de corriente continua, la intensidad de la corriente que circula es directamente proporcional al voltaje aplicado es inversamente proporcional a la resistencia¨¨. 

De hecho, si consideramos a la caída de tensión E1 − E2 entre las terminales de un resistor como una función de la corriente, la Ley de Ohm establece que dicha función estará descrita por una línea recta con intersección en el origen. 

En realidad esto es cierto solamente de manera aproximada: la ley de Ohm no constituye propiamente una ley de la naturaleza, sino una manifestación de que la característica corriente- voltaje es un fenómeno que puede considerarse lineal en un rango relativamente reducido de valores: en un intervalo grande de valores del voltaje, fenómenos como la superconductividad a bajas temperaturas, el calentamiento de los conductores debido al mismo paso de la corriente y la ionización de los alrededores al circular corrientes elevadas hacen que la característica corriente voltaje registre considerables variaciones y sea mejor descrita por una curva con pendiente variable. 

No obstante lo anterior para un gran número de aplicaciones prácticas es satisfactoria la aproximación lineal descrita por la ley de Ohm, la cual, considerando que tanto la corriente como la diferencia de potencial entre las terminales del resistor son cantidades variables con respecto al tiempo es simplemente: E1(t) − E2(t) = i(t)R. (3.58) El empleo de la transformada de Laplace da como resultado una expresión completamente análoga E˜ 1(s) − E˜ 2(s) = R˜i(s).

Analogías

 

Linealización de sistemas matemáticos no lineales

La linealización es un procedimiento por el cual las ecuaciones no lineales que representan el modelo del proceso se transforman en ecuaciones lineales, con solución analítica general. La mayoría de los modelos de los procesos que tienen lugar en una depuradora son no lineales.

La linealización del modelo se efectuará en torno al régimen nominal de operación, por lo que las soluciones que se obtengan sólo serán válidas para estudiar el comportamiento dinámico del proceso en ese entorno.

Sistemas hibridos

Los sistemas híbridos son una clase de sistemas dinámicos donde el comportamiento a analizar es definido por la interacción de dinámicas continuas y discretas. Debido a la complejidad y a la diversidad de los sistemas híbridos, es muy difícil que una herramienta se pueda aplicar a cualquier sistema y conservar las mismas ventajas y propiedades. Por está razón, actualmente no existe una herramienta o metodología general y sistemática para la modelación de sistemas híbridos, como las existentes en la industria de manufactura o procesos. Es importante encontrar una metodología óptima que permita la modelación, análisis y simulación de un sistema híbrido. Este artículo presenta una metodología para el modelado y análisis de sistemas híbridos, ya que en la actualidad no existe un enfoque totalmente integrado para esta clase de sistemas. Dicha metodología se aplica a un caso específico de un sistema de tanques y se comprueban el modelo y análisis obtenidos mediante una simulación.

El término “sistema híbrido” es usado para definir una clase de sistemas con comportamientos definidos por entidades o procesos de distintas características. Estos sistemas contienen típicamente variables o señales que toman valores de manera continua y variables discretas que toman valores dentro de un conjunto finito de posibilidades.

Existen muchas razones para usar modelos híbridos para representar el comportamiento dinámico de tales sistemas. Una razón importante es la reducción de complejidad del modelo en orden, por ejemplo, en lugar de tener que representar las relaciones dinámicas a partir de un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior, se puede representar el mismo sistema por un conjunto de ecuaciones simples, obteniendo así modelos simples mediante una logística de conmutación entre dichos modelos, usualmente la teoría de grafos; esta es la teoría más común en el modelado físico de fenómenos.

Sistemas térmicos.

 Los sistemas térmicos son aquellos procesos donde están involucrado el almacenamiento y la transferencia de calor.

Cuando un objeto material almacena calor este se manifiesta como una temperatura más alta con relación a otro objeto. Por ejemplo, un pedazo de metal caliente tiene más calor almacenado que un pedazo de metal a temperatura ambiente.

El calor fluye entre los objetos mediante uno de tres mecanismos: conducción, convección (o transferencia de masa) y radiación.

La transferencia de calor por conducción ocurre cuando existe una diferencia de temperatura a través de un objeto. Por ejemplo, el flujo de calor que ocurre a través de la pared de una casa cuando la temperatura al interior de esta es más alta (o más baja) que la temperatura del exterior.

La transferencia de calor por convección implica el flujo de calor a través de un medio líquido o gaseoso, como cuando un ventilador sopla aire frío a través de un objeto caliente; el aire se lleva parte del calor del objeto.

Transferencia de calor por radiación, como transferencia conductiva, es causado por una diferencia de temperatura entre objetos, no requiere un medio físico para el flujo de calor (es decir, el calor radiactivo puede fluir a través del vacío). Está ejemplificado por la transferencia de calor del sol a la tierra.

Modelado Matemático

En este proceso, vamos a necesitar conocer todo tipo de temperatura que entra y sale del sistema.  Emplearemos ecuaciones famosas para el modelado de sistemas térmicos las cuales describimos a continuación.

T. Entrada: La temperatura del transistor aumenta a medida que la corriente eléctrica fluye a través del pequeño dispositivo  

T. Salida: La energía que se dispersa fuera del transistor es provocada por dos mecanismos principales: convección y radiación.

La temperatura de entrada:

es el porcentaje de salida del calentador. El parámetro α es un factor que relaciona la salida del calentador (0-100%) con la potencia disipada por el transistor en vatios.

La temperatura de salida es dada por:

El primer término de la ecuación se conoce como la Ley de enfriamiento de newton y el segundo como la Ley de Stefan-Boltzmann

 constante de perdida para el ambiente, T temperatura del transistor,
 temperatura del ambiente, ϵ  emisividad, σ es la constante de Stefan-Boltzmann, A es el área

donde:

kT​=UA

U es el coeficiente de transferencia de calor, A es el área

Reemplazando valores tenemos que:

Utilizando el concepto de derivada

Podemos calcular el calor liberado o absorbido utilizando el calor específico, , la masa, , del componente y el cambio en temperatura  en la ecuación:

$$Q=m{c}_p(T-T_{ref})$$

reemplazando tenemos:

Considerando que la temperatura de referencia es constante, por lo tanto la derivada da CERO, llegamos al modelo matemático de la temperatura del transistor:

Sistemas fluidicos o hidráulicos

La configuración del sistema hidráulico está dado por dos tanques de altura de 3 metros cada uno, unidos por tés a la tubería en su base, los dos tanques se encuentran ubicados uno al lado del otro unidos por una válvula por la cual pasa un caudal Qm, los dos tanques son alimentados por su parte superior gracias a los caudales 𝑄𝑖𝑛1 = 0.0038 𝑚3 /𝑠𝑒𝑔 y 𝑄𝑖𝑛2 = 0.0015 𝑚3 /𝑠𝑒𝑔 respectivamente. Dado que el caudal de entrada del tanque uno es mayor que el caudal de entrada del tanque dos y el factor de apertura de válvula uno [f1] es menor que el factor de apertura de la válvula tres [f3], se garantiza que el caudal que relaciona los dos tanque Qm tenga dirección de izquierda a derecha, saliendo del tanque uno y entrando al tanque dos, las salidas del sistema están ubicadas a cada lado de los tanques descritos por los caudales Qout1 y Qout2, como se muestra en la figura 1. En la salida dos existe una tubería con longitud de 30m la cual genera pérdidas. Las alturas iníciales de los tanques son de 0.0001m es decir están desocupados, los diámetros de las tuberías de todo el sistema corresponden a dos pulgas lo cual equivale a 0.0508 𝑚.

Obtención de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema.

 Las ecuaciones diferenciales (5.2) y (5.3) describen el sistema y están determinados por los caudales que entran y salen en cada una de los tanques y las capacitancias de los mismos, existe un caudal que relaciona las dos ecuaciones diferénciale el cual sale del tanque 1 para entrar al tanque dos [Qm] por ende en la ecuación (5.2) es positivo ya que sale y en la ecuación (5.3) negativo dado que entra al tanque dos.

La ecuación (5.4) describe la forma de los tanques con las constantes dadas para generar una superficie de revolución.

Éste modelado matemático está en función de las pérdidas de columnas de agua en los elementos que componen el sistema, igualándolas a la columna de agua en la base de los tanques. Así la suma de las pérdidas de columna de agua en los elementos en una trayectoria por la cual fluye el agua es igual a la columna de agua que genera tal flujo. Las pérdidas en columnas de agua en los accesorios acoplados a las tuberías están en función del caudal, el diámetro y las propiedades de los materiales que componen dichos accesorios igual que en las válvulas solo que éstas varía dado que se multiplica un factor de apertura por el área nominal de la válvula. En la ecuación (2.8), se sustituye la velocidad media del fluido quedando en función del caudal y el diámetro de nominal del accesorio el cual es igual al diámetro de la tubería.

Se analizan las trayectorias por donde el agua fluye hacia la salida Qout1. y se tienen en cuenta las pérdidas en columnas de agua en los elementos que generan resistencia al caudal de salida Qout1. La presión en columna de agua en la base de los tanques está determinada por la altura de agua en los tanques, y las pérdidas se generan en la Te al expandirse el fluido en tal elemento, más la perdida en la válvula dado el factor de apertura. Para el tanque 1 respecto a la sálida Qout1 se tiene:

Se analizan las trayectorias por donde el agua fluye en la sección media y se tienen en cuenta las pérdidas de columnas de agua en los elementos que generan resistencia al caudal Qm. Para los tanque 1 y 2 respecto al caudal Qm se tiene:

 Dado que no se puede despejar Qout2 Se grafíca en MatLab la ecuación (5.12) y se halla el caudal máximo para la altura nominal del tanque que es de 3m.

Se genera una regresión potencial para poder aproximar Qout2 en los puntos de operación logrando así una ecuación que describe el comportamiento de la sálida en función de la altura del tanque2 en la sección de la tubería larga.