Sistemas traslacionales

 

 

Nota sobre la derivada de un vector Un vector v(t) puede expresarse según sus tres componentes con respecto a un sistema cartesiano de coordenadas, con los vectores unitarios básicos i, j y k,

Si las componentes del vector son, además, funciones diferenciables, la derivada de un vector puede expresarse en términos de las respectivas componentes:

 

Relaciones cinemáticas La posición de cualquier punto en el espacio se describe por medio de un vector de posición. Dicho punto cambia de posición en cada instante de tiempo durante el movimiento, es decir la posición es una función del tiempo.

Si r es el vector de posición, entonces

 (3.4)

De manera similar se define la aceleración, como la razón de cambio instantánea de la velocidad, es decir

 (3.5)

Concatenando las ecuaciones (3.4) y (3.5), se obtiene la relación entre el desplazamiento y la aceleración

 

De manera abreviada, la velocidad y aceleración se pueden representar colocando un punto sobre el símbolo que representa a la variable en cuestión.

Son las leyes de Newton las que constituyen la base, por excelencia, del estudio de sistemas mecánicos. Aun cuando los avances posteriores en la física han establecido que son leyes que se cumplen bajo un conjunto de condiciones muy particulares, su aplicabilidad práctica en problemas de ingeniería ha resultado indiscutible.

1a. Ley de la inercia. Todo cuerpo tiende a permanecer en estado de reposo, o bien seguir en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se le aplique una fuerza neta. Esta condición se puede expresar como una suma vectorial, conocida como la condición de equilibrio traslacional:

2a. Ley de la aceleración. La resultante de la suma de fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de la masa por la aceleración. Esta ley puede expresarse como

 

3a. Ley de la acción y la reacción. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo cuerpo ejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud, pero de sentido opuesto. Si a la primera de las fuerzas la denominamos F12 y a la fuerza de reacción la denominamos F21, esta ley se puede expresar com

 

Resorte lineal

 En la figura 9 se muestra un resorte lineal, es decir, que sigue la ley de Hooke. A la izquierda, se contrasta la longitud sin deformar del resorte, l0, con la longitud que adquiere cuando se le aplica una fuerza F. La diferencia entre su longitud sin deformar y la longitud deformada se denomina elongación. En el caso de que la fuerza aplicada sea de compresión, y de que existan las restricciones al movimiento de tal manera que la única deformación del resorte sea en el sentido de la fuerza aplicada longitudinalmente, (lo cual puede lograrse a través de guías de movimiento u otros medios auxiliares) el resorte disminuirá su longitud. En este sentido el término elongación se considera una cantidad algebraica, que puede tener uno u otro signo: positivo en el caso de fuerzas de tracción, y negativo en caso de fuerzas de compresión. La ley de Hooke simplemente establece que la deformación experimentada por el resorte es proporcional al la fuerza aplicada. Como muchos modelos ampliamente utilizados, esta ley solamente se cumple dentro de un intervalo restringido de valores, fuera del cual puede cambiar la configuración física del resorte: si se le estira demasiado, hasta deshacer las espiras, ya no se comportará como un resorte, sino como un alambre estirado y la fuerza necesaria para lograr un mínimo estiramiento adicional sería mucho mayor. Por el contrario, si se le contrae a tal punto que las espiras se cierran, suponiendo que no se pandeara, la presión para lograr un poco más de deformación sería tan grande como cuando se intenta comprimir un bloque sólido hecho del mismo material del resorte. Pero aÞn dentro de la zona intermedia entre los dos extremos descritos, el comportamiento lineal que se muestra en la gráfica del lado derecho de la figura 7 es solamente una aproximación, con frecuencia la curva característica fuerza-deformación es ligeramente cóncava o convexa. En el primer caso se dice que se trata de un resorte blando y en el segundo que se trata de un resorte duro. De cualquier manera, la aproximación

 

 resulta acertada para la mayor parte de las necesidades de modelado. Otro punto interesante es que, el resorte posee una masa distribuida y por lo tanto un descripción de la dinámica del movimiento del resorte debería incluir el efecto inercial de la distribución de la masa, la cual es cambiante de acuerdo con la deformación experimentada. El hecho de que la mayor parte de las veces el resorte forma parte de un sistema en el que las masas en movimiento son de mucho mayor magnitud que las del mismo resorte, hace que la aproximación obtenida sea satisfactoria la mayor parte de las veces.

 

 

La fricción viscosa

La fricción viscosa es un fenómeno que se produce debido a la oposición al movimiento relativo entre las moléculas de un fludo, o bien al movimiento relativo de las moléculas del ´ fluído con respecto a una superficie sólida. En la figura 10 se describe un modelo simplificado de la fricción viscosa que se emplea de manera bastante habitual en las aplicaciones. La figura 10 a) ilustra el principio general de la fuerza de arrastre: un sólido con movimiento relativo con respecto a un fluido experimenta una fuerza de arrastre que se opone a dicho movimiento: el cuerpo de forma esférica se mueve con una velocidad v hacia la derecha, a consecuencia de lo cual experimenta una fuerza hacia la izquierda que se opone a dicho movimento; se trata de una fuerza reactiva, es decir, sólo ocurre cuando hay movimiento

relativo entre el cuerpo y el fluído. La figura 10 b) muestra un caso típico: el de una masa sujeta firmemente al extremo de un amortiguador viscoso y que se desplaza con una velocidad v hacia abajo. El extremo inferior del amortiguador se encuentra fijo con respecto al sistema de referencia, por lo que su velocidad es cero. La figura 10 c muestra a ambos bloques separados para indicar la fuerza transmitida: dado que los extremos del amortiguador se están acercando uno con respecto a otro, la fricción viscosa se opone y ocasiona que el amortiguador aplique una fuerza contra el bloque, la cual tiene sentido contrario a la velocidad y magnitud proporcional a la misma:

Por la ley de la acción y reacción, el bloque transmite al amortiguador una fuerza en la dirección del movimiento. Dentro del cilindro del amortiguador se indican, con línea discontínua, líneas del flujo que ingresa de la cámara inferior a la cámara superior, lo cual explica la resistencia al movimiento.