Sistemas rotacionales

 

La utilidad de las leyes de movimiento de Newton reside en que, después de un análisis fundamentado, es posible obtener expresiones derivadas que se extienden al análisis de movimiento en el cual, además del movimiento traslacional, exista movimiento de rotación, o ambos tipos de movimiento de manera combinada. Momento de una fuerza El momento de una fuerza F aplicada en un punto P con respecto a un punto O, ambos puntos situados en un cuerpo rígido, es una cantidad vectorial cuyo módulo es igual al producto de la distancia del punto P al punto O, por la componente de la fuerza perpendicular a dicha distancia. Si al vector de posición entre ambos puntos se le denomina como r, entonces el momento queda completamente determinado por el producto vectorial:

 (3.33)

El resultado de la operación descrita en (3.33) es un vector perpendicular al plano que forman F y r. Su unidad de medida en el sistema internacional de unidades son el Newton-metro [N·m]. Muchos problemas relevantes relacionados con el cálculo de momentos, involucran sistemas fuerzas coplanares, por lo que no resulta indispensable utilizar la notación vectorial como en (3.33). Al momento de torsión se le conoce también como torque, torca, par de fuerzas o simplemente par. En realidad se trata de conceptos ligeramente distintos, pero debido a que sus efectos son equivalentes, en la práctica de ingeniería se les utiliza como sinónimos.

En el caso del movimiento plano, en el cual todos los vectores de posición, velocidad traslacional, fuerzas y aceleraciones son coplanares, en lugar de la ecuación (3.33) se puede emplear la expresión simplificada

 

 (3.34)

donde M es es la magnitud del par M, r es la longitud del brazo de palanca, igual a la longitud del vectro de posición r, F es la magnitud de la fuerza F aplicada en el extremo de r y θ es el ángulo entre la líneas de acción de ambos vectores.

Leyes de movimiento rotacional

Las leyes que rigen el movimiento rotacional son más complejas que las que describen el movimento traslacional. Sin embargo, bajo ciertas condiciones, es posible obtener expresiones que facilitan el análisis de movimiento de cuerpos rígidos en situaciones que resultan comunes en ingenierína. La condición de equilibrio rotacional es completamente análoga a la primera ley de Newton: la suma de los momentos aplicados alrededor que cualquier punto es igual a cero, escrito en forma de ecuación

 (3.35)

A partir de las leyes que rigen el movimiento angular, en particular la ley del cambio de momento angular, considerando el caso especial de movimiento en torno a un eje fijo, Se pueden entonces expresar la relación que guardan entre sí la aceleración angular y el par resultante aplicado a un cuerpo que posee un momento de inercia J con respecto al centro de masa:

 (3.36)

En relación con la ecuación (3.36), debe tenerse presente que no existe ley de Newton en sentido rotacional, sin embargo la aplicación de los principios físicos, bajo ciertas limitaciones, da lugar a una expresión análoga a la segunda ley. En la figura 16 se muestra el esquema de un resorte torsional en el cual uno de sus extremos se encuentra fijo, de manera que la deformación angular por torsión se debe únicamente a giro de un punto contenido en un plano perpendicular al eje de rotación. Es el análogo al resorte traslacional y su comportamiento se puede describir en términos semejantes a los de la ley de Hooke, con el par T tomando el lugar de la fuerza F, y la deformación angular θ tomando el lugar de la deformación lineal

 

 (3.37)

 Finalmente, al considerar la transmisión de fuerzas a través de los puntos de contacto entre dos cuerpos, se puede establecer una expresión para la ley de la acción y la reacción en el movimiento rotacional

  (3.38)

 

 

 

 

El péndulo simple

 En la figura 19 se muestra el diagrama de cuerpo libre del péndulo simple en una posición arbitraria, pero distinta de la posición de equilibrio. El sistema de ejes cartesianos de referencia XY se encuentra fijo con respecto al suelo y se ha trazado de tal manera que, en la posición mostrada, la velocidad tangencial de la masa m coincide con la dirección

positiva del eje X. Este análisis no depende de la posición particular que haya seleccionado. Las fuerzas que actúan en la dirección X son la componente del peso a lo largo de dicha dirección: mg sin θ , la fuerza de arrastre debida a la fricción viscosa, la cual es proporcional a la velocidad tangencial, a la velocidad angular y a la longitud del péndulo L, es decir cLdθ dt así como la fuerza u L transmitida a través del eslabón rígido de masa despreciable y que es resultado de la aplicación del par u en el punto pivote. Aplicando la segunda ley de Newton en dicha dirección se tiene

 (3.46)

Nótese que no se incluye explícitamente la fricción en el pivote, la cual, en general puede tener una componente fija consistente en fricción de Coulomb y una componente de fricción viscosa.

Después de simplificar conduce a la clásica ecuación del péndulo con fricción, la cual es una ecuación diferencial no-lineal homogénea de segundo orden.

 (3.47)

A pesar de su sencillez la ecuación tiene un carácter bastante general (3.47) y partiendo de ella se pueden obtener modelos correspondientes a distintas situaciones. Por ejemplo, si se desprecia la fricción viscosa (es decir, c = 0), se consideran solamente oscilaciones de amplitud reducida (es decir sen θ ≈ θ) y se analiza el movimiento fuera del equilibrio debido solamente a la acción de la gravedad (u = 0), se obtiene la ecuación simplificada

Movimiento rotacional de una carga acoplada elásticamente

En la figura 17 se muestra un sistema mecánico de uso común para elevar cargas: un malacate de empleo común en elevadores sencillos, vagones en tiros de minas, así como equipamiento automotriz (comúnmente conocido como wincher ). En dicha figura, la masa del rotor tiene un momento de inercia J1 con respecto al eje horizontal de rotación, la aplicación del par M, generalmente de origen electromagnético, ocasiona un desplazamiento angular, denotado por θ1. El movimiento encuentra la oposición de un par de fricción viscosa que es proporcional al velocidad angular ˙θ1. El rotor se encuentra acoplado con un cilindro por medio de un conector mecánico flexible que puede considerarse, para efectos del análisis dinámico, como un resorte torsional. Existe una gran variedad de razones para escoger un acoplamiento elástico: ligereza, ahorro en materiales o protección de los componentes delicados como los baleros, bujes y chumaceras. Por el lado de la carga, el cilindro (también llamado tambor) de radio r tiene un momento de inercia J2 con respecto al eje de rotación, así como una coordenada θ2; alrededor del mismo se enrolla un cable considerado inextensible, sin resbalamiento y de masa despreciable, en un extremo del cual pende una masa m restringida a moverse únicamente en dirección vertical, ya sea ascendente o descendente. La rigidez del cable y su enrollamiento ideal con el tambor, dan como resultado que se cumplan las siguientes relaciones cinemáticas

 

La relaciones cinemáticas implican que el valor de la variable y determina completamente a θ y viceversa. El sistema mecánico completo es, por lo tanto un sistema de dos grados de libertad: la posición de todos los puntos del sistema se determina conociendo solamente θ1 junto con θ2, o bien θ1 junto con y, teniendo como datos a los parámetros del sistema y al par aplicado M. El diagrama de cuerpo libre del malacate se muestra en la figura 18. En el diagrama de cuerpo libre del rotor intervienen los siguientes momentos de torsión.

Aplicando la ecuación para el movimiento rotacional con respecto a un eje fijo