Circuitos Eléctricos

Como se verá a continuación, la relación entre los elementos de los sistemas eléctricos mostrados en la Figura 3.2-1 y los de la red generalizada es directa, lo que permitirá aplicar posteriormente los teoremas y procedimientos de análisis de las redes eléctricas a las redes generalizadas.

Los elementos que se emplearán serán el capacitor (que almacena energía en un campo eléctrico), el inductor (que almacena energía en un campo magnético), la resistencia (que disipa energía) y el transformador.

Capacitor eléctrico puro

Si se arreglan dos piezas de un material conductor de manera que ellas estén separadas por un material dieléctrico (un material en el cual se puede establecer un campo eléctrico sin permitir un flujo significante de carga a través de él), se establece un campo eléctrico entre los conductores cuando fluye una carga hacia un conductor saliendo del otro. Este campo eléctrico da como resultado una diferencia de potencial entre los dos conductores, la cual depende de la cantidad de cargas localizada entre los conductores.

Los dispositivos físicos que exhiben este tipo de relación de carga y voltaje se dicen que tienen capacitancia.

Una capacitancia ideal tiene una carga proporcional a la diferencia de potencial.

Donde C es la capacitancia del elemento en faradios (F = A s / V). La ecuación elemental para un capacitor ideal es

Cuando se hace fluir una carga dentro de un capacitor se transfiere energía (Ee )   al elemento, la cual está dada por:

Un capacitor almacena energía en su campo electrostático, por lo tanto se llama energía de campo eléctrico. 

Inductor eléctrico puro

Cuando la corriente fluye a través de una estructura conductora, se establece un campo magnético en el espacio o material alrededor de la estructura. Si esta corriente cambia como una función del tiempo, la intensidad del campo magnético variará también con el tiempo. De acuerdo con la ley de Lenz, este campo cambiante inducirá diferencias de potencial en la estructura conductora las cuales tenderán a oponerse al cambio de la corriente- La característica básica por la cual un elemento eléctrico resiste con una diferencia de potencial al razón de cambio del flujo de corriente a través de él se llama inductancia. Se definirá la cantidad de acople de flujo ʎ como:

Un inductor puro o ideal tiene un acople de flujo proporcional a la corriente

Donde la inductancia L está medida en henrios (h = V s / A).

La ecuación elemental para un inductor ideal con L constante es

Un inductor almacena energía en el campo magnético asociado con la corriente. La energía eléctrica almacenada en un inductor puro se llama energía del campo magnético Em y está dada por

Si el inductor es ideal, entonces

Los componentes de un circuito eléctrico pueden ser activos cuando su funcionamiento involucra suministro de energía o cambios en la configuración del flujo de corriente, o pasivos cuando realizan su función sin necesidad de un suministro adicional de energía. Como ejemplos de los primeros se encuentran los amplificadores operacionales, transistores, memorias y circuitos integrados en general.

Por otra parte, elementos pasivos son elementos que cumplen funciones de acoplamiento: resistores, inductores y capacitores. Es de especial interés para la elaboración de modelos, conocer la relación que existe entre el voltaje aplicado y la corriente que circula entre las terminales de cualquiera de estos elementos, o bien la caída de tensión debida a la circulación de cierta corriente en tales componentes; a esta relación se le denomina característica corriente-voltaje. Si esta característica resulta ser lineal, entonces es posible aplicar los instrumentos matemáticos disponible para efectuar el análisis y predecir su respuesta. El elemento más sencillo es la resistencia, la cual se describe por medio de la conocida ley descrita por el físico Georg Simon Ohm: 

¨en un circuito cerrado de corriente continua, la intensidad de la corriente que circula es directamente proporcional al voltaje aplicado es inversamente proporcional a la resistencia¨¨. 

De hecho, si consideramos a la caída de tensión E1 − E2 entre las terminales de un resistor como una función de la corriente, la Ley de Ohm establece que dicha función estará descrita por una línea recta con intersección en el origen. 

En realidad esto es cierto solamente de manera aproximada: la ley de Ohm no constituye propiamente una ley de la naturaleza, sino una manifestación de que la característica corriente- voltaje es un fenómeno que puede considerarse lineal en un rango relativamente reducido de valores: en un intervalo grande de valores del voltaje, fenómenos como la superconductividad a bajas temperaturas, el calentamiento de los conductores debido al mismo paso de la corriente y la ionización de los alrededores al circular corrientes elevadas hacen que la característica corriente voltaje registre considerables variaciones y sea mejor descrita por una curva con pendiente variable. 

No obstante lo anterior para un gran número de aplicaciones prácticas es satisfactoria la aproximación lineal descrita por la ley de Ohm, la cual, considerando que tanto la corriente como la diferencia de potencial entre las terminales del resistor son cantidades variables con respecto al tiempo es simplemente: E1(t) − E2(t) = i(t)R. (3.58) El empleo de la transformada de Laplace da como resultado una expresión completamente análoga E˜ 1(s) − E˜ 2(s) = R˜i(s).

Analogías

 

Linealización de sistemas matemáticos no lineales

La linealización es un procedimiento por el cual las ecuaciones no lineales que representan el modelo del proceso se transforman en ecuaciones lineales, con solución analítica general. La mayoría de los modelos de los procesos que tienen lugar en una depuradora son no lineales.

La linealización del modelo se efectuará en torno al régimen nominal de operación, por lo que las soluciones que se obtengan sólo serán válidas para estudiar el comportamiento dinámico del proceso en ese entorno.

Sistemas hibridos

Los sistemas híbridos son una clase de sistemas dinámicos donde el comportamiento a analizar es definido por la interacción de dinámicas continuas y discretas. Debido a la complejidad y a la diversidad de los sistemas híbridos, es muy difícil que una herramienta se pueda aplicar a cualquier sistema y conservar las mismas ventajas y propiedades. Por está razón, actualmente no existe una herramienta o metodología general y sistemática para la modelación de sistemas híbridos, como las existentes en la industria de manufactura o procesos. Es importante encontrar una metodología óptima que permita la modelación, análisis y simulación de un sistema híbrido. Este artículo presenta una metodología para el modelado y análisis de sistemas híbridos, ya que en la actualidad no existe un enfoque totalmente integrado para esta clase de sistemas. Dicha metodología se aplica a un caso específico de un sistema de tanques y se comprueban el modelo y análisis obtenidos mediante una simulación.

El término “sistema híbrido” es usado para definir una clase de sistemas con comportamientos definidos por entidades o procesos de distintas características. Estos sistemas contienen típicamente variables o señales que toman valores de manera continua y variables discretas que toman valores dentro de un conjunto finito de posibilidades.

Existen muchas razones para usar modelos híbridos para representar el comportamiento dinámico de tales sistemas. Una razón importante es la reducción de complejidad del modelo en orden, por ejemplo, en lugar de tener que representar las relaciones dinámicas a partir de un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior, se puede representar el mismo sistema por un conjunto de ecuaciones simples, obteniendo así modelos simples mediante una logística de conmutación entre dichos modelos, usualmente la teoría de grafos; esta es la teoría más común en el modelado físico de fenómenos.

Sistemas térmicos.

 Los sistemas térmicos son aquellos procesos donde están involucrado el almacenamiento y la transferencia de calor.

Cuando un objeto material almacena calor este se manifiesta como una temperatura más alta con relación a otro objeto. Por ejemplo, un pedazo de metal caliente tiene más calor almacenado que un pedazo de metal a temperatura ambiente.

El calor fluye entre los objetos mediante uno de tres mecanismos: conducción, convección (o transferencia de masa) y radiación.

La transferencia de calor por conducción ocurre cuando existe una diferencia de temperatura a través de un objeto. Por ejemplo, el flujo de calor que ocurre a través de la pared de una casa cuando la temperatura al interior de esta es más alta (o más baja) que la temperatura del exterior.

La transferencia de calor por convección implica el flujo de calor a través de un medio líquido o gaseoso, como cuando un ventilador sopla aire frío a través de un objeto caliente; el aire se lleva parte del calor del objeto.

Transferencia de calor por radiación, como transferencia conductiva, es causado por una diferencia de temperatura entre objetos, no requiere un medio físico para el flujo de calor (es decir, el calor radiactivo puede fluir a través del vacío). Está ejemplificado por la transferencia de calor del sol a la tierra.

Modelado Matemático

En este proceso, vamos a necesitar conocer todo tipo de temperatura que entra y sale del sistema.  Emplearemos ecuaciones famosas para el modelado de sistemas térmicos las cuales describimos a continuación.

T. Entrada: La temperatura del transistor aumenta a medida que la corriente eléctrica fluye a través del pequeño dispositivo  

T. Salida: La energía que se dispersa fuera del transistor es provocada por dos mecanismos principales: convección y radiación.

La temperatura de entrada:

es el porcentaje de salida del calentador. El parámetro α es un factor que relaciona la salida del calentador (0-100%) con la potencia disipada por el transistor en vatios.

La temperatura de salida es dada por:

El primer término de la ecuación se conoce como la Ley de enfriamiento de newton y el segundo como la Ley de Stefan-Boltzmann

 constante de perdida para el ambiente, T temperatura del transistor,
 temperatura del ambiente, ϵ  emisividad, σ es la constante de Stefan-Boltzmann, A es el área

donde:

kT​=UA

U es el coeficiente de transferencia de calor, A es el área

Reemplazando valores tenemos que:

Utilizando el concepto de derivada

Podemos calcular el calor liberado o absorbido utilizando el calor específico, , la masa, , del componente y el cambio en temperatura  en la ecuación:

$$Q=m{c}_p(T-T_{ref})$$

reemplazando tenemos:

Considerando que la temperatura de referencia es constante, por lo tanto la derivada da CERO, llegamos al modelo matemático de la temperatura del transistor:

Sistemas fluidicos o hidráulicos

La configuración del sistema hidráulico está dado por dos tanques de altura de 3 metros cada uno, unidos por tés a la tubería en su base, los dos tanques se encuentran ubicados uno al lado del otro unidos por una válvula por la cual pasa un caudal Qm, los dos tanques son alimentados por su parte superior gracias a los caudales 𝑄𝑖𝑛1 = 0.0038 𝑚3 /𝑠𝑒𝑔 y 𝑄𝑖𝑛2 = 0.0015 𝑚3 /𝑠𝑒𝑔 respectivamente. Dado que el caudal de entrada del tanque uno es mayor que el caudal de entrada del tanque dos y el factor de apertura de válvula uno [f1] es menor que el factor de apertura de la válvula tres [f3], se garantiza que el caudal que relaciona los dos tanque Qm tenga dirección de izquierda a derecha, saliendo del tanque uno y entrando al tanque dos, las salidas del sistema están ubicadas a cada lado de los tanques descritos por los caudales Qout1 y Qout2, como se muestra en la figura 1. En la salida dos existe una tubería con longitud de 30m la cual genera pérdidas. Las alturas iníciales de los tanques son de 0.0001m es decir están desocupados, los diámetros de las tuberías de todo el sistema corresponden a dos pulgas lo cual equivale a 0.0508 𝑚.

Obtención de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema.

 Las ecuaciones diferenciales (5.2) y (5.3) describen el sistema y están determinados por los caudales que entran y salen en cada una de los tanques y las capacitancias de los mismos, existe un caudal que relaciona las dos ecuaciones diferénciale el cual sale del tanque 1 para entrar al tanque dos [Qm] por ende en la ecuación (5.2) es positivo ya que sale y en la ecuación (5.3) negativo dado que entra al tanque dos.

La ecuación (5.4) describe la forma de los tanques con las constantes dadas para generar una superficie de revolución.

Éste modelado matemático está en función de las pérdidas de columnas de agua en los elementos que componen el sistema, igualándolas a la columna de agua en la base de los tanques. Así la suma de las pérdidas de columna de agua en los elementos en una trayectoria por la cual fluye el agua es igual a la columna de agua que genera tal flujo. Las pérdidas en columnas de agua en los accesorios acoplados a las tuberías están en función del caudal, el diámetro y las propiedades de los materiales que componen dichos accesorios igual que en las válvulas solo que éstas varía dado que se multiplica un factor de apertura por el área nominal de la válvula. En la ecuación (2.8), se sustituye la velocidad media del fluido quedando en función del caudal y el diámetro de nominal del accesorio el cual es igual al diámetro de la tubería.

Se analizan las trayectorias por donde el agua fluye hacia la salida Qout1. y se tienen en cuenta las pérdidas en columnas de agua en los elementos que generan resistencia al caudal de salida Qout1. La presión en columna de agua en la base de los tanques está determinada por la altura de agua en los tanques, y las pérdidas se generan en la Te al expandirse el fluido en tal elemento, más la perdida en la válvula dado el factor de apertura. Para el tanque 1 respecto a la sálida Qout1 se tiene:

Se analizan las trayectorias por donde el agua fluye en la sección media y se tienen en cuenta las pérdidas de columnas de agua en los elementos que generan resistencia al caudal Qm. Para los tanque 1 y 2 respecto al caudal Qm se tiene:

 Dado que no se puede despejar Qout2 Se grafíca en MatLab la ecuación (5.12) y se halla el caudal máximo para la altura nominal del tanque que es de 3m.

Se genera una regresión potencial para poder aproximar Qout2 en los puntos de operación logrando así una ecuación que describe el comportamiento de la sálida en función de la altura del tanque2 en la sección de la tubería larga.

 

Señales

Son magnitudes que definen el comportamiento de un sistema. Su naturaleza define el carácter del sistema: mecánico, biológico, económico, etc. 

Es todo aquello que contiene información acerca de la naturaleza o el comportamiento de algún fenómeno físico (electromagnético, acústico, mecánico, biológico, etcétera). Una señal se representa matemáticamente por medio de una función que depende de una o más variables independientes

Variables de estado: Conjunto mínimo de variables del sistema, tal que, conocido su valor en un instante dado, permiten conocer la respuesta del sistema ante cualquier señal de entrada o perturbación. 

Señales discretas.

Las variables independientes sólo pueden tomar conjuntos restringidos de valores. Las funciones representativas sólo están definidas para los valores posibles de las variables.

Señales continuas.

Las variables independientes son continuas (pueden tomar cualquier valor real). Las funciones representativas están definidas para sucesiones continuas de las variables independientes.

Modelo

 Un modelo es un sistema creado de forma abstracta, cuyos elementos son igualmente abstractos y las relaciones entre ellos están formalizadas. Los modelos son utilizados para representar y explicar el comportamiento un sistema real a partir de observaciones cuantitativas y cualitativas de sus propiedades o atributos.

El modelo que explica el comportamiento de un sistema a través del tiempo, es un sistema dinámico; los datos observados se parametrizan con relación al tiempo, para luego formalizarlos. El caracter dinámico del sistema nos lleva a considerar la importancia de su evolución a través del tiempo, ocasionada por las interacciones internas, que constituyen la estructura del sistema.

Sistemas

 La Dinámica de sistemas nace a partir de la teoría de sistemas, ya que se emplea como método para entender el comportamiento no lineal de sistemas complejos. La idea principal para su análisis inicial consiste en entender la estructura del sistema.

Aunque formalmente se comenzó a abordar este tema en los años 60s, su origen se da en 1950, cuando utilizó para mejorar la comprensión de las corporaciones y sus procesos industriales por parte de los administradores. Actualmente, esta metodología se emplea en el sector público y privado para diseñar e implementar políticas mediante su emulación. La Dinámica de Sistemas fue la profuesta que surge en el MIT con el profesor Jay W. Forrester (Ingeniero Electrónico).

Concretamente, la Dinámica de sistemas es una metodología que busca entender el comportamiento de sistemas complejos y la evolución de éste a través del tiempo. Utiliza métodos de sistemas duros, básicamente las ideas de realimentación, sistema dinámico, teoría de modelos en el espacio de estados y procedimientos de análisis númericos; en su punto de mira también están los problemas no estructurados (blandos), como los que aparecen en los sistemas socioeconómicos.
Funciona como una técnica de simulación por computador, de modo que sirve para analizar, comprender y discutir situaciones y problemas complejos.
Las propiedades de los sistemas son, para la dinámica de sistemas, el marco conceptual desde el cual el modelador debe percibir y representar la realidad.

Sistemas rotacionales

 

La utilidad de las leyes de movimiento de Newton reside en que, después de un análisis fundamentado, es posible obtener expresiones derivadas que se extienden al análisis de movimiento en el cual, además del movimiento traslacional, exista movimiento de rotación, o ambos tipos de movimiento de manera combinada. Momento de una fuerza El momento de una fuerza F aplicada en un punto P con respecto a un punto O, ambos puntos situados en un cuerpo rígido, es una cantidad vectorial cuyo módulo es igual al producto de la distancia del punto P al punto O, por la componente de la fuerza perpendicular a dicha distancia. Si al vector de posición entre ambos puntos se le denomina como r, entonces el momento queda completamente determinado por el producto vectorial:

 (3.33)

El resultado de la operación descrita en (3.33) es un vector perpendicular al plano que forman F y r. Su unidad de medida en el sistema internacional de unidades son el Newton-metro [N·m]. Muchos problemas relevantes relacionados con el cálculo de momentos, involucran sistemas fuerzas coplanares, por lo que no resulta indispensable utilizar la notación vectorial como en (3.33). Al momento de torsión se le conoce también como torque, torca, par de fuerzas o simplemente par. En realidad se trata de conceptos ligeramente distintos, pero debido a que sus efectos son equivalentes, en la práctica de ingeniería se les utiliza como sinónimos.

En el caso del movimiento plano, en el cual todos los vectores de posición, velocidad traslacional, fuerzas y aceleraciones son coplanares, en lugar de la ecuación (3.33) se puede emplear la expresión simplificada

 

 (3.34)

donde M es es la magnitud del par M, r es la longitud del brazo de palanca, igual a la longitud del vectro de posición r, F es la magnitud de la fuerza F aplicada en el extremo de r y θ es el ángulo entre la líneas de acción de ambos vectores.

Leyes de movimiento rotacional

Las leyes que rigen el movimiento rotacional son más complejas que las que describen el movimento traslacional. Sin embargo, bajo ciertas condiciones, es posible obtener expresiones que facilitan el análisis de movimiento de cuerpos rígidos en situaciones que resultan comunes en ingenierína. La condición de equilibrio rotacional es completamente análoga a la primera ley de Newton: la suma de los momentos aplicados alrededor que cualquier punto es igual a cero, escrito en forma de ecuación

 (3.35)

A partir de las leyes que rigen el movimiento angular, en particular la ley del cambio de momento angular, considerando el caso especial de movimiento en torno a un eje fijo, Se pueden entonces expresar la relación que guardan entre sí la aceleración angular y el par resultante aplicado a un cuerpo que posee un momento de inercia J con respecto al centro de masa:

 (3.36)

En relación con la ecuación (3.36), debe tenerse presente que no existe ley de Newton en sentido rotacional, sin embargo la aplicación de los principios físicos, bajo ciertas limitaciones, da lugar a una expresión análoga a la segunda ley. En la figura 16 se muestra el esquema de un resorte torsional en el cual uno de sus extremos se encuentra fijo, de manera que la deformación angular por torsión se debe únicamente a giro de un punto contenido en un plano perpendicular al eje de rotación. Es el análogo al resorte traslacional y su comportamiento se puede describir en términos semejantes a los de la ley de Hooke, con el par T tomando el lugar de la fuerza F, y la deformación angular θ tomando el lugar de la deformación lineal

 

 (3.37)

 Finalmente, al considerar la transmisión de fuerzas a través de los puntos de contacto entre dos cuerpos, se puede establecer una expresión para la ley de la acción y la reacción en el movimiento rotacional

  (3.38)

 

 

 

 

El péndulo simple

 En la figura 19 se muestra el diagrama de cuerpo libre del péndulo simple en una posición arbitraria, pero distinta de la posición de equilibrio. El sistema de ejes cartesianos de referencia XY se encuentra fijo con respecto al suelo y se ha trazado de tal manera que, en la posición mostrada, la velocidad tangencial de la masa m coincide con la dirección

positiva del eje X. Este análisis no depende de la posición particular que haya seleccionado. Las fuerzas que actúan en la dirección X son la componente del peso a lo largo de dicha dirección: mg sin θ , la fuerza de arrastre debida a la fricción viscosa, la cual es proporcional a la velocidad tangencial, a la velocidad angular y a la longitud del péndulo L, es decir cLdθ dt así como la fuerza u L transmitida a través del eslabón rígido de masa despreciable y que es resultado de la aplicación del par u en el punto pivote. Aplicando la segunda ley de Newton en dicha dirección se tiene

 (3.46)

Nótese que no se incluye explícitamente la fricción en el pivote, la cual, en general puede tener una componente fija consistente en fricción de Coulomb y una componente de fricción viscosa.

Después de simplificar conduce a la clásica ecuación del péndulo con fricción, la cual es una ecuación diferencial no-lineal homogénea de segundo orden.

 (3.47)

A pesar de su sencillez la ecuación tiene un carácter bastante general (3.47) y partiendo de ella se pueden obtener modelos correspondientes a distintas situaciones. Por ejemplo, si se desprecia la fricción viscosa (es decir, c = 0), se consideran solamente oscilaciones de amplitud reducida (es decir sen θ ≈ θ) y se analiza el movimiento fuera del equilibrio debido solamente a la acción de la gravedad (u = 0), se obtiene la ecuación simplificada

Movimiento rotacional de una carga acoplada elásticamente

En la figura 17 se muestra un sistema mecánico de uso común para elevar cargas: un malacate de empleo común en elevadores sencillos, vagones en tiros de minas, así como equipamiento automotriz (comúnmente conocido como wincher ). En dicha figura, la masa del rotor tiene un momento de inercia J1 con respecto al eje horizontal de rotación, la aplicación del par M, generalmente de origen electromagnético, ocasiona un desplazamiento angular, denotado por θ1. El movimiento encuentra la oposición de un par de fricción viscosa que es proporcional al velocidad angular ˙θ1. El rotor se encuentra acoplado con un cilindro por medio de un conector mecánico flexible que puede considerarse, para efectos del análisis dinámico, como un resorte torsional. Existe una gran variedad de razones para escoger un acoplamiento elástico: ligereza, ahorro en materiales o protección de los componentes delicados como los baleros, bujes y chumaceras. Por el lado de la carga, el cilindro (también llamado tambor) de radio r tiene un momento de inercia J2 con respecto al eje de rotación, así como una coordenada θ2; alrededor del mismo se enrolla un cable considerado inextensible, sin resbalamiento y de masa despreciable, en un extremo del cual pende una masa m restringida a moverse únicamente en dirección vertical, ya sea ascendente o descendente. La rigidez del cable y su enrollamiento ideal con el tambor, dan como resultado que se cumplan las siguientes relaciones cinemáticas

 

La relaciones cinemáticas implican que el valor de la variable y determina completamente a θ y viceversa. El sistema mecánico completo es, por lo tanto un sistema de dos grados de libertad: la posición de todos los puntos del sistema se determina conociendo solamente θ1 junto con θ2, o bien θ1 junto con y, teniendo como datos a los parámetros del sistema y al par aplicado M. El diagrama de cuerpo libre del malacate se muestra en la figura 18. En el diagrama de cuerpo libre del rotor intervienen los siguientes momentos de torsión.

Aplicando la ecuación para el movimiento rotacional con respecto a un eje fijo